Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En astronom studerar rörelsen av en asteroid i rymden. Asteroidens position vid tiden $t$ ges av vektorn $\mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} 2t^2 + 3t + 1 \\ 4t - 2 \\ t^2 - 5t + 6 \end{bmatrix}$. Bestäm asteroidens hastighetsvektor vid tiden $t = 3$.

SVAR

\mathbf{v}(3) = \begin{bmatrix} 15 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna hastighetsvektorn genom att derivera positionsvektorn $\mathbf{r}(t)$ med avseende på $t$.

Beräkning: \mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} 2t^2 + 3t + 1 \\ 4t - 2 \\ t^2 - 5t + 6 \end{bmatrix}

Resultat: \mathbf{v}(t) = \begin{bmatrix} 4t + 3 \\ 4 \\ 2t - 5 \end{bmatrix}

Steg 2

Beskrivning: Substituera $t = 3$ i hastighetsvektorn för att bestämma hastigheten vid denna tidpunkt.

Beräkning: \mathbf{v}(3) = \begin{bmatrix} 4(3) + 3 \\ 4 \\ 2(3) - 5 \end{bmatrix}

Resultat: \mathbf{v}(3) = \begin{bmatrix} 15 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Vektorer i planet och rummet Grundläggande

Förståelse för hur vektorer representeras och manipuleras i två- och tredimensionella rum.

Läs mer →

Derivata Grundläggande

Kunskap om hur man deriverar funktioner för att bestämma hastighet och acceleration.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En partikel rör sig enligt vektorn $\mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} t^3 - 2t \\ 3t^2 + t \\ -t^2 + 4 \end{bmatrix}$. Bestäm partikelns hastighetsvektor vid tiden $t = 2$.

Förklaring: Derivera varje komponent av vektorn med avseende på $t$ och substituera sedan $t = 2$.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att uppgiften handlar om att bestämma hastighetsvektorn från en given positionsvektor.

Lösningsstrategi

Derivera positionsvektorn komponentvis och substituera sedan den givna tiden.

Verifieringsmetod

Kontrollera att deriveringen av varje komponent är korrekt genom att jämföra med standardderivator.

Nyckelbegrepp

Derivata Vektorer

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.