Rotationsmatrisen \( R \) är \( \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \). Den nya positionen för kameran är \( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \).
← Tillbaka till Linjär Algebra
Linjär Algebra
En filmregissör använder datorgrafik för att skapa en 3D-animation där en kamera roterar runt en scen. Kamerans position beskrivs av vektorn \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \). För att rotera kameran 90 grader runt z-axeln, vilken rotationsmatris \( R \) ska användas och vad blir den nya positionen för kameran?
SVAR
STEG-FÖR-STEG LÖSNING
Steg 1
Beskrivning: Identifiera rotationsmatrisen för en 90 graders rotation runt z-axeln.
Beräkning: R = \begin{bmatrix} \cos(90^\circ) & -\sin(90^\circ) & 0 \\ \sin(90^\circ) & \cos(90^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
Resultat: R = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
Steg 2
Beskrivning: Multiplicera kamerans ursprungliga position med rotationsmatrisen.
Beräkning: \mathbf{v}' = R \cdot \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
Resultat: \mathbf{v}' = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
NÖDVÄNDIG KUNSKAP
Matrismultiplikation
Grundläggande
För att multiplicera två matriser måste antalet kolonner i den första matrisen vara lika med antalet rader i den andra matrisen.
Läs mer →
Linjära avbildningar
Grundläggande
En linjär avbildning kan representeras med en matris som transformerar vektorer i rummet.
Läs mer →ÖVNINGSUPPGIFTER
Uppgift 1 (Nivå A)
Fråga: En designer vill rotera en objektvektor \( \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} \) 180 grader runt z-axeln. Vilken rotationsmatris ska användas och vad blir den nya positionen för objektet?
Förklaring: Använd rotationsmatrisen för 180 graders rotation runt z-axeln och multiplicera med vektorn \( \mathbf{u} \).
TANKESÄTT OCH STRATEGI
Första intryck
Identifiera vilken typ av rotation som behövs och vilken axel rotationen sker runt.
Lösningsstrategi
Använd rotationsmatrisen för att transformera den ursprungliga vektorn och beräkna den nya positionen.
Verifieringsmetod
Kontrollera att den resulterande vektorn är korrekt genom att verifiera att den ligger i rätt kvadrant efter rotationen.
Nyckelbegrepp
Rotationsmatris
Matrismultiplikation
Linjära avbildningar
Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag.
Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information.
Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.