Uppgift 1 - Linjär Algebra (Medel nivå)

En fysiker studerar svängningarna i ett kvantmekaniskt system och använder en matris för att representera Hamiltonoperatorn för systemet. Hamiltonmatrisen ges av: \[ H = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \] Fysikern är intresserad av att bestämma egenvärdena för denna matris för att förstå energinivåerna i systemet. Bestäm egenvärdena för matrisen \( H \).

SVAR

Egenvärdena för matrisen \( H \) är \( \lambda_1 = 4, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 1 \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna karakteristiska polynomet för matrisen \( H \).

Beräkning: Det karakteristiska polynomet ges av \( \det(H - \lambda I) \), där \( I \) är identitetsmatrisen. Vi har: \[ H - \lambda I = \begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 3-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} \] Beräkna determinanten: \[ \det(H - \lambda I) = (2-\lambda)((3-\lambda)(2-\lambda) - 1) - 1((1)(2-\lambda) - 0) + 0 \] \[ = (2-\lambda)((3-\lambda)(2-\lambda) - 1) - (2-\lambda) \]

Resultat: Det karakteristiska polynomet är \( -\lambda^3 + 7\lambda^2 - 14\lambda + 8 \).

Steg 2

Beskrivning: Lös det karakteristiska polynomet för att hitta egenvärdena.

Beräkning: Lös ekvationen \( -\lambda^3 + 7\lambda^2 - 14\lambda + 8 = 0 \) för \( \lambda \).

Resultat: Egenvärdena är \( \lambda_1 = 4, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 1 \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Egenvärden och egenvektorer Grundläggande

För att bestämma egenvärdena för en matris, beräknar man det karakteristiska polynomet och löser det för \( \lambda \).

Läs mer →

Determinanter Grundläggande

Determinanter används för att beräkna det karakteristiska polynomet, vilket är nödvändigt för att hitta egenvärden.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Bestäm egenvärdena för matrisen \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \).

Förklaring: Följ samma metod för att beräkna det karakteristiska polynomet och lös för \( \lambda \).

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att uppgiften handlar om att bestämma egenvärden för en given matris.

Lösningsstrategi

Beräkna det karakteristiska polynomet och lös det för att hitta egenvärdena.

Verifieringsmetod

Kontrollera att de funna egenvärdena uppfyller det karakteristiska polynomet.

Nyckelbegrepp

Egenvärden Karakteristiskt polynom Determinant

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.