Uppgift 1 - Linjär Algebra (Avancerad nivå)

En filmregissör planerar en 3D-animerad scen där en kamera ska rotera runt ett objekt för att skapa en dramatisk effekt. Kamerans position i förhållande till objektet kan representeras av vektorn \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \). Regissören vill att kameran ska rotera 90 grader runt z-axeln. Hur ser kamerans nya position ut efter rotationen?

SVAR

Efter rotationen ser kamerans nya position ut som \( \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera rotationsmatrisen för en 90-graders rotation runt z-axeln.

Beräkning: Rotationsmatrisen är \( R = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \).

Resultat: Rotationsmatrisen \( R \) är klar.

Steg 2

Beskrivning: Multiplicera rotationsmatrisen med vektorn \( \mathbf{v} \) för att få den nya positionen.

Beräkning: \( R \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \)

Resultat: Den nya positionen är \( \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Matrismultiplikation Grundläggande

För att rotera en vektor i 3D används en rotationsmatris som multipliceras med vektorn.

Läs mer →

Linjära avbildningar Grundläggande

Rotationer i 3D kan ses som linjära avbildningar representerade av matriser.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En kamera befinner sig vid positionen \( \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} \). Vad blir dess nya position efter en 180-graders rotation runt y-axeln?

Förklaring: Använd rotationsmatrisen för en 180-graders rotation runt y-axeln och multiplicera med vektorn.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Förstå att rotationer i 3D kan representeras med matriser och att dessa matriser kan användas för att transformera vektorer.

Lösningsstrategi

Använd en rotationsmatris för att utföra en linjär avbildning av vektorn som representerar kamerans position.

Verifieringsmetod

Kontrollera att den resulterande vektorn har samma längd som den ursprungliga, vilket bekräftar att endast en rotation har utförts.

Nyckelbegrepp

Rotationsmatris Matrismultiplikation Linjära avbildningar

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.