Uppgift 1 - Linjär Algebra (Medel nivå)

En filmregissör arbetar med att skapa en realistisk 3D-animation av en rymdfärja som roterar i rymden. För att simulera denna rörelse används en rotationsmatris. Givet rotationsmatrisen \( R = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \), bestäm om denna matris bevarar längden av vektorer i rummet. Om den gör det, visa att \( R \) är en ortogonal matris.

SVAR

Ja, rotationsmatrisen \( R \) bevarar längden av vektorer i rummet och är en ortogonal matris eftersom \( R^T R = I \), där \( I \) är identitetsmatrisen.

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Kontrollera om \( R \) är en ortogonal matris genom att beräkna \( R^T R \).

Beräkning: R^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad R^T R = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Resultat: R^T R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I

Steg 2

Beskrivning: Eftersom \( R^T R = I \), är \( R \) en ortogonal matris.

Beräkning:

Resultat: R är ortogonal och bevarar längden av vektorer.

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Ortogonalitet och ortogonala projektioner Grundläggande

En matris är ortogonal om dess transponat multiplicerat med matrisen ger identitetsmatrisen.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Visa att matrisen \( \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \) är ortogonal för alla \( \theta \).

Förklaring: Använd definitionen av ortogonalitet och beräkna produkten av matrisens transponat och matrisen själv.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att uppgiften handlar om att verifiera ortogonalitet hos en rotationsmatris.

Lösningsstrategi

Beräkna produkten av transponatet av matrisen och matrisen själv för att kontrollera om resultatet är identitetsmatrisen.

Verifieringsmetod

Kontrollera om \( R^T R = I \) för att bekräfta att matrisen är ortogonal.

Nyckelbegrepp

Ortogonalitet Rotationsmatris Identitetsmatris

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.