Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En fysiker studerar kvantmekaniska system och behöver analysera en 3x3 Hermitesk matris \( A \) för att hitta dess egenvärden. Matrisen \( A \) är given som: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & i & 0 \\ -i & 3 & i \\ 0 & -i & 1 \end{pmatrix} \] Beräkna egenvärdena för matrisen \( A \).

SVAR

Egenvärdena för matrisen \( A \) är \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3 \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna karakteristiska polynomet \( p(\lambda) = \det(A - \lambda I) \).

Beräkning: A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & i & 0 \\ -i & 3-\lambda & i \\ 0 & -i & 1-\lambda \end{pmatrix}

Resultat: Karakteristiska polynomet är \( p(\lambda) = (2-\lambda)((3-\lambda)(1-\lambda) + 1) + i(i(1-\lambda)) \).

Steg 2

Beskrivning: Förenkla uttrycket för determinanten.

Beräkning: p(\lambda) = (2-\lambda)((3-\lambda)(1-\lambda) + 1) - (1-\lambda) = (2-\lambda)(3-\lambda)(1-\lambda) + (2-\lambda) - (1-\lambda)

Resultat: Det förenklade polynomet är \( p(\lambda) = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 11\lambda + 6 \).

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationen \( p(\lambda) = 0 \) för att hitta egenvärdena.

Beräkning: Faktorisera polynomet: \( -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 11\lambda + 6 = 0 \)

Resultat: Egenvärdena är \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3 \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Egenvärden och egenvektorer Grundläggande

Förståelse för hur man beräknar egenvärden och egenvektorer från en kvadratisk matris.

Läs mer →

Determinanter Grundläggande

Förmåga att beräkna determinanter för att hitta karakteristiska polynom.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Beräkna egenvärdena för matrisen \( B = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \).

Förklaring: Använd samma metod för att beräkna determinanten och faktorisera det karakteristiska polynomet.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att matrisen är Hermitesk och att vi behöver beräkna egenvärden.

Lösningsstrategi

Beräkna det karakteristiska polynomet och lös det för att hitta egenvärdena.

Verifieringsmetod

Kontrollera att de beräknade egenvärdena uppfyller det karakteristiska polynomet.

Nyckelbegrepp

Hermiteska matriser Egenvärden Determinanter

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.