Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En fysiker studerar kvantmekaniska system och behöver analysera en linjär transformation som beskriver en 3D-rotation av ett kvanttillstånd. Givet en rotationsmatris \( R \) som roterar vektorer med \( 45^{\circ} \) runt z-axeln, bestäm egenvärdena för \( R \).

SVAR

Egenvärdena för rotationsmatrisen \( R \) är \( 1, e^{i\frac{\pi}{4}}, e^{-i\frac{\pi}{4}} \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Skriv ut rotationsmatrisen \( R \) för en rotation med \( 45^{\circ} \) runt z-axeln.

Beräkning: \( R = \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} & 0 \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Resultat: Rotationsmatrisen \( R \) är korrekt uppställd.

Steg 2

Beskrivning: Beräkna karakteristiska polynomet för \( R \) genom att lösa \( \det(R - \lambda I) = 0 \).

Beräkning: \( \det \left( \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} - \lambda & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \right) = 0 \)

Resultat: Karakteristiska polynomet är \( (1 - \lambda)((\frac{\sqrt{2}}{2} - \lambda)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2) = 0 \).

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationen för \( \lambda \).

Beräkning: \( (1 - \lambda)(\lambda^2 - \sqrt{2}\lambda + 1) = 0 \)

Resultat: Egenvärdena är \( \lambda = 1 \) och lösningarna till \( \lambda^2 - \sqrt{2}\lambda + 1 = 0 \).

Steg 4

Beskrivning: Lös kvadratkompletteringen för \( \lambda^2 - \sqrt{2}\lambda + 1 = 0 \).

Beräkning: \( \lambda = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}}{2} = e^{i\frac{\pi}{4}}, e^{-i\frac{\pi}{4}} \)

Resultat: De komplexa egenvärdena är \( e^{i\frac{\pi}{4}} \) och \( e^{-i\frac{\pi}{4}} \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Egenvärden och egenvektorer Grundläggande

Förståelse för hur man beräknar egenvärden och egenvektorer för en matris är avgörande för att lösa denna uppgift.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Bestäm egenvärdena för en rotationsmatris som roterar vektorer med \( 90^{\circ} \) runt x-axeln.

Förklaring: Denna övning hjälper till att förstå hur rotationsmatriser påverkar egenvärden och egenvektorer.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att uppgiften handlar om att bestämma egenvärden för en rotationsmatris.

Lösningsstrategi

Använd karakteristiska polynomet för att hitta egenvärdena.

Verifieringsmetod

Kontrollera att lösningarna till det karakteristiska polynomet är korrekta genom att substituera tillbaka i ekvationen.

Nyckelbegrepp

Rotationsmatris Egenvärden Komplexa tal

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.