Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En fysiker studerar kvantmekaniska system och behöver analysera en linjär transformation som beskrivs av matrisen \( A \). Matrisen \( A \) är given som: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Bestäm egenvärdena för matrisen \( A \).

SVAR

Egenvärdena för matrisen \( A \) är \( \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 1 \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna karakteristiska polynomet för matrisen \( A \).

Beräkning: Det karakteristiska polynomet ges av \( \det(A - \lambda I) \).

Resultat: Determinanten är \( \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \).

Steg 2

Beskrivning: Utveckla determinanten.

Beräkning: Determinanten utvecklas till: \((2-\lambda)((2-\lambda)(2-\lambda) - 1) - 1((2-\lambda) - 0)\).

Resultat: Detta förenklas till \((2-\lambda)^3 - 3(2-\lambda) + 1\).

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationen \((2-\lambda)^3 - 3(2-\lambda) + 1 = 0\).

Beräkning: Sätt \( x = 2-\lambda \), då blir ekvationen \( x^3 - 3x + 1 = 0 \).

Resultat: Lösningarna till ekvationen är \( x_1 = 1, x_2 = 0, x_3 = -1 \).

Steg 4

Beskrivning: Omvandla tillbaka till \( \lambda \).

Beräkning: Eftersom \( x = 2-\lambda \), fås \( \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 1 \).

Resultat: Egenvärdena är \( \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 1 \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Egenvärden och egenvektorer Grundläggande

Förståelse för hur man beräknar egenvärden genom att lösa det karakteristiska polynomet.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Beräkna egenvärdena för matrisen \( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Förklaring: Använd metoden för att beräkna det karakteristiska polynomet och lös det för att hitta egenvärdena.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att hitta egenvärden för en given matris.

Lösningsstrategi

Beräkna det karakteristiska polynomet och lös det för att hitta egenvärdena.

Verifieringsmetod

Kontrollera att de beräknade egenvärdena uppfyller det karakteristiska polynomet.

Nyckelbegrepp

karakteristiskt polynom determinant egenvärden

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.