Uppgift 1 - Linjär Algebra (Avancerad nivå)

En filmregissör planerar en 3D-animerad scen där en kamera ska rotera runt en karaktär i en cirkulär bana. För att uppnå detta behöver regissören använda en rotationsmatris för att transformera kamerans position i 3D-rummet. Om kamerans ursprungliga position är vektorn \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \), hur ser kamerans position ut efter en rotation med 90 grader runt z-axeln?

SVAR

Efter rotationen är kamerans position \( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera rotationsmatrisen för en 90 graders rotation runt z-axeln.

Beräkning: Rotationsmatrisen är \( R_z(90^\circ) = \begin{bmatrix} \cos(90^\circ) & -\sin(90^\circ) & 0 \\ \sin(90^\circ) & \cos(90^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \).

Resultat: Rotationsmatrisen \( R_z(90^\circ) = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \).

Steg 2

Beskrivning: Multiplicera rotationsmatrisen med vektorn \( \mathbf{v} \) för att få den nya positionen.

Beräkning: \( \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)

Resultat: Den nya positionen är \( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Matrismultiplikation Grundläggande

För att transformera en vektor i rummet används matrismultiplikation där en matris multipliceras med en vektor.

Läs mer →

Linjära avbildningar Grundläggande

Rotationsmatriser är exempel på linjära avbildningar som används för att rotera vektorer i rummet.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Vad blir resultatet av att rotera vektorn \( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) 90 grader runt x-axeln?

Förklaring: Använd rotationsmatrisen för x-axeln och multiplicera med vektorn.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera vilken typ av linjär transformation som behövs för att rotera vektorn.

Lösningsstrategi

Använd rotationsmatrisen för z-axeln och multiplicera med den givna vektorn.

Verifieringsmetod

Kontrollera att den resulterande vektorn har samma längd som den ursprungliga och att den är korrekt roterad.

Nyckelbegrepp

Rotationsmatris Matrismultiplikation Linjära avbildningar

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.