Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En fysiker studerar kvantmekaniska system och behöver analysera en transformation som beskriver en 3D-rotation av ett kvantmekaniskt tillståndsvektor. Givet rotationsmatrisen \[ R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] där \( \theta = \frac{\pi}{4} \), bestäm den resulterande vektorn när den initiala vektorn \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \) roteras.

SVAR

Den resulterande vektorn är \( \mathbf{v}' = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Ange rotationsmatrisen med \( \theta = \frac{\pi}{4} \).

Beräkning: \[ R = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} & 0 \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Resultat: Rotationsmatrisen är \( \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \).

Steg 2

Beskrivning: Multiplicera rotationsmatrisen med den initiala vektorn \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \).

Beräkning: \[ \mathbf{v}' = R \mathbf{v} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \]

Resultat: Den resulterande vektorn är \( \mathbf{v}' = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{bmatrix} \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Matrismultiplikation Grundläggande

För att beräkna produkten av en matris och en vektor multiplicerar vi varje rad i matrisen med vektorn.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Beräkna den resulterande vektorn när vektorn \( \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) roteras med samma rotationsmatris \( R \) som ovan.

Förklaring: Använd samma rotationsmatris och multiplicera den med vektorn \( \mathbf{u} \).

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att använda en rotationsmatris för att transformera en vektor.

Lösningsstrategi

Använd matrismultiplikation för att få den nya vektorn efter rotation.

Verifieringsmetod

Kontrollera att den resulterande vektorn har samma längd som den ursprungliga vektorn, vilket bekräftar att det är en rotation.

Nyckelbegrepp

Rotationsmatris Matrismultiplikation Trigonometri

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.