Uppgift 1 - Linjär Algebra (Avancerad nivå)

En filmregissör planerar en 3D-animerad scen där en kamera ska rotera runt en karaktär för att skapa en dramatisk effekt. Kameran är initialt placerad vid punkten \((1, 0, 0)\) och ska rotera 90 grader runt z-axeln. Använd linjär algebra för att bestämma den nya positionen för kameran efter rotationen.

SVAR

Efter rotationen är kamerans nya position \((0, 1, 0)\).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera rotationsmatrisen för en 90 graders rotation runt z-axeln.

Beräkning: \( R = \begin{bmatrix} \cos(90^\circ) & -\sin(90^\circ) & 0 \\ \sin(90^\circ) & \cos(90^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

Resultat: Rotationsmatrisen är \( \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \).

Steg 2

Beskrivning: Multiplicera den ursprungliga kamerakoordinaten med rotationsmatrisen.

Beräkning: \( \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)

Resultat: Den nya positionen för kameran är \((0, 1, 0)\).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Linjära avbildningar Grundläggande

Förståelse för hur linjära transformationer kan representeras med matriser och hur dessa kan användas för att utföra geometriska transformationer som rotationer.

Läs mer →

Matrismultiplikation Grundläggande

Förmåga att multiplicera matriser för att tillämpa transformationer på vektorer.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En kamera är placerad vid \((0, 1, 0)\) och ska rotera 180 grader runt z-axeln. Vad blir den nya positionen?

Förklaring: Använd rotationsmatrisen för 180 graders rotation runt z-axeln och multiplicera med den ursprungliga positionen.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera vilken typ av transformation som ska utföras och vilken axel rotationen sker runt.

Lösningsstrategi

Använd rotationsmatrisen för att transformera den ursprungliga positionen genom matrismultiplikation.

Verifieringsmetod

Kontrollera att den resulterande positionen är rimlig med avseende på den ursprungliga positionen och rotationsvinkeln.

Nyckelbegrepp

Rotationsmatris Matrismultiplikation Linjära transformationer

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.