Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En fysiker studerar kvantmekaniska system och vill analysera en linjär transformation som beskriver en 3D-rotation i rummet. Givet en rotationsmatris \( R \) som representerar en rotation runt z-axeln med en vinkel \( \theta \), bestäm egenvärdena för \( R \).

SVAR

Egenvärdena för rotationsmatrisen \( R \) är \( 1, e^{i\theta}, e^{-i\theta} \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Definiera rotationsmatrisen \( R \) för en rotation runt z-axeln.

Beräkning: R = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Resultat: Rotationsmatrisen \( R \) är definierad.

Steg 2

Beskrivning: Beräkna karakteristiska polynomet för \( R \).

Beräkning: \det(R - \lambda I) = \det\left(\begin{pmatrix} \cos \theta - \lambda & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix}\right)

Resultat: Karakteristiska polynomet är \((\cos \theta - \lambda)^2 + \sin^2 \theta = 0\) och \(1 - \lambda = 0\).

Steg 3

Beskrivning: Lös ekvationen \((\cos \theta - \lambda)^2 + \sin^2 \theta = 0\).

Beräkning: \lambda^2 - 2\lambda\cos \theta + 1 = 0

Resultat: Lösningarna är \( \lambda = \cos \theta \pm i\sin \theta = e^{\pm i\theta} \).

Steg 4

Beskrivning: Lös ekvationen \(1 - \lambda = 0\).

Beräkning: \lambda = 1

Resultat: Egenvärdet är \( \lambda = 1 \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Egenvärden och egenvektorer Grundläggande

Förståelse för hur man beräknar egenvärden från en matris.

Läs mer →

Matriser och matrisoperationer Grundläggande

Kunskap om hur man hanterar matriser och beräknar determinanter.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Bestäm egenvärdena för en rotationsmatris som beskriver en rotation runt x-axeln med en vinkel \( \phi \).

Förklaring: Använd samma metod som för rotation runt z-axeln, men anpassa matrisen för rotation runt x-axeln.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att hitta egenvärden för en rotationsmatris.

Lösningsstrategi

Beräkna det karakteristiska polynomet och lös det för att hitta egenvärdena.

Verifieringsmetod

Kontrollera att lösningarna till det karakteristiska polynomet är korrekta genom att substituera tillbaka i polynomet.

Nyckelbegrepp

Rotationsmatris Egenvärden Komplexa tal

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.