Uppgift 1 - Linjär Algebra (Medel nivå)

En fysiker studerar vibrationerna i ett molekylärt system och har beskrivit systemet med hjälp av en matris A. För att förstå systemets dynamik behöver fysikern bestämma egenvärdena för matrisen A. Givet matrisen \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \] beräkna egenvärdena för A.

SVAR

Egenvärdena för matrisen A är \( \lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 2 \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna karaktäristiska polynomet för matrisen A.

Beräkning: Det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - 4 & -1 & -2 \\ -1 & \lambda - 3 & 0 \\ -2 & 0 & \lambda - 3 \end{vmatrix}

Resultat: (\lambda - 4)((\lambda - 3)(\lambda - 3) - 0) - (-1)(-1)(\lambda - 3) - (-2)(-2)(\lambda - 3)

Steg 2

Beskrivning: Förenkla uttrycket för determinanten.

Beräkning: (\lambda - 4)((\lambda - 3)^2) - (\lambda - 3) - 4(\lambda - 3)

Resultat: (\lambda - 4)(\lambda^2 - 6\lambda + 9) - \lambda + 3 - 4\lambda + 12

Steg 3

Beskrivning: Utveckla och samla termer.

Beräkning: (\lambda^3 - 6\lambda^2 + 9\lambda - 4\lambda^2 + 24\lambda - 36) - 5\lambda + 15

Resultat: \lambda^3 - 10\lambda^2 + 28\lambda - 21

Steg 4

Beskrivning: Lös det karaktäristiska polynomet för att hitta egenvärdena.

Beräkning: \lambda^3 - 10\lambda^2 + 28\lambda - 21 = 0

Resultat: Egenvärdena är \lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 2

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Egenvärden och egenvektorer Grundläggande

Förståelse för hur man beräknar egenvärden och egenvektorer från en kvadratisk matris.

Läs mer →

Determinanter Grundläggande

Kunskap om hur man beräknar determinanter för att lösa karaktäristiska polynom.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: Beräkna egenvärdena för matrisen \[ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \].

Förklaring: Eftersom B är en diagonalmatris, är egenvärdena elementen på diagonalen.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet kräver att vi hittar egenvärden för en given matris.

Lösningsstrategi

Beräkna det karaktäristiska polynomet genom att använda determinanter och lös sedan polynomet för att hitta egenvärdena.

Verifieringsmetod

Kontrollera att de beräknade egenvärdena uppfyller det karaktäristiska polynomet.

Nyckelbegrepp

Egenvärden Determinanter Karaktäristiskt polynom

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.