Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En fysiker analyserar rörelsen av en partikel i tre dimensioner. Partikelns position vid tidpunkten \( t \) ges av vektorn \( \mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} 3t^2 + 2t \ 4t + 1 \ 5 \end{bmatrix} \). Fysikern är intresserad av att bestämma hastighetsvektorn för partikeln vid \( t = 2 \). Beräkna hastighetsvektorn.

SVAR

\( \mathbf{v}(2) = \begin{bmatrix} 14 \ 4 \ 0 \end{bmatrix} \)

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Bestäm hastighetsvektorn genom att derivera positionen \( \mathbf{r}(t) \) med avseende på \( t \).

Beräkning: \( \mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} 3t^2 + 2t \ 4t + 1 \ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6t + 2 \ 4 \ 0 \end{bmatrix} \)

Resultat: \( \mathbf{v}(t) = \begin{bmatrix} 6t + 2 \ 4 \ 0 \end{bmatrix} \)

Steg 2

Beskrivning: Beräkna hastighetsvektorn vid \( t = 2 \).

Beräkning: \( \mathbf{v}(2) = \begin{bmatrix} 6(2) + 2 \ 4 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \ 4 \ 0 \end{bmatrix} \)

Resultat: \( \mathbf{v}(2) = \begin{bmatrix} 14 \ 4 \ 0 \end{bmatrix} \)

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Vektorer i planet och rummet Grundläggande

Förståelse av vektorer och deras representation i tre dimensioner.

Läs mer →

Derivata av vektorfunktioner Grundläggande

Förmåga att derivera vektorfunktioner med avseende på tid.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En partikel rör sig i rummet enligt vektorn \( \mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} t^3 \ 2t^2 \ 3t \end{bmatrix} \). Bestäm hastighetsvektorn vid \( t = 1 \).

Förklaring: Använd derivata för att hitta hastighetsvektorn från positionen.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att hitta hastighetsvektorn genom att derivera positionen.

Lösningsstrategi

Derivera positionen för att få hastighetsvektorn och sätt in \( t = 2 \) för att få svaret.

Verifieringsmetod

Kontrollera att derivatan är korrekt beräknad och att rätt värde av \( t \) används.

Nyckelbegrepp

derivata vektorer hastighet

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.