Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En fysiker studerar rörelsen av en partikel i ett tredimensionellt rum. Partikelns position vid tiden \( t \) ges av vektorn \( \mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} 3t^2 \\ 2t \\ t^3 \end{bmatrix} \). Fysikern är intresserad av att bestämma partikelns hastighet och acceleration vid tiden \( t = 1 \). Använd linjär algebra för att hitta dessa vektorer.

SVAR

Vid tiden \( t = 1 \), är hastighetsvektorn \( \mathbf{v}(1) = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \) och accelerationsvektorn \( \mathbf{a}(1) = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix} \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna hastighetsvektorn \( \mathbf{v}(t) \) som är derivatan av positionsvektorn \( \mathbf{r}(t) \) med avseende på \( t \).

Beräkning: \( \mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} 3t^2 \\ 2t \\ t^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6t \\ 2 \\ 3t^2 \end{bmatrix} \)

Resultat: \( \mathbf{v}(t) = \begin{bmatrix} 6t \\ 2 \\ 3t^2 \end{bmatrix} \)

Steg 2

Beskrivning: Beräkna hastighetsvektorn vid \( t = 1 \).

Beräkning: \( \mathbf{v}(1) = \begin{bmatrix} 6 \times 1 \\ 2 \\ 3 \times 1^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)

Resultat: \( \mathbf{v}(1) = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)

Steg 3

Beskrivning: Beräkna accelerationsvektorn \( \mathbf{a}(t) \) som är derivatan av hastighetsvektorn \( \mathbf{v}(t) \) med avseende på \( t \).

Beräkning: \( \mathbf{a}(t) = \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} 6t \\ 2 \\ 3t^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ 6t \end{bmatrix} \)

Resultat: \( \mathbf{a}(t) = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ 6t \end{bmatrix} \)

Steg 4

Beskrivning: Beräkna accelerationsvektorn vid \( t = 1 \).

Beräkning: \( \mathbf{a}(1) = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix} \)

Resultat: \( \mathbf{a}(1) = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix} \)

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Vektorer i planet och rummet Grundläggande

Förståelse för hur vektorer representeras och manipuleras i två- och tredimensionella rum.

Läs mer →

Derivata av vektorfunktioner Grundläggande

Förmåga att ta derivatan av vektorfunktioner för att bestämma hastighet och acceleration.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En partikel rör sig enligt vektorfunktionen \( \mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} t^3 \\ 4t^2 \\ 2t \end{bmatrix} \). Bestäm hastighets- och accelerationsvektorerna vid \( t = 2 \).

Förklaring: Använd derivata för att bestämma hastighet och acceleration av en vektorfunktion.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att bestämma derivator av en vektorfunktion för att hitta hastighet och acceleration.

Lösningsstrategi

Beräkna derivatan av positionsvektorn för att få hastighetsvektorn och sedan derivatan av hastighetsvektorn för att få accelerationsvektorn.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna genom att säkerställa att derivatorna är korrekt beräknade och att resultaten stämmer överens med förväntade fysikaliska egenskaper.

Nyckelbegrepp

Vektorer Derivata Hastighet Acceleration

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.