Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En fysiker studerar rörelsen hos en partikel i ett tredimensionellt rum. Partikelns position vid tiden \( t \) ges av vektorn \( \mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} 2t \cos(t) \\ 2t \sin(t) \\ t^2 \end{bmatrix} \). Fysikern är intresserad av att bestämma partikelns hastighet och acceleration vid tiden \( t = \pi \). Beräkna hastighets- och accelerationsvektorerna vid denna tidpunkt.

SVAR

Hastighetsvektorn vid \( t = \pi \) är \( \mathbf{v}(\pi) = \begin{bmatrix} -2\pi \\ 2\pi \\ 2\pi \end{bmatrix} \) och accelerationsvektorn är \( \mathbf{a}(\pi) = \begin{bmatrix} -2\pi - 2 \pi^2 \\ 2\pi - 2 \pi^2 \\ 2 \end{bmatrix} \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna hastighetsvektorn \( \mathbf{v}(t) \) genom att derivera positionsvektorn \( \mathbf{r}(t) \) med avseende på \( t \).

Beräkning: \( \mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} 2t \cos(t) \\ 2t \sin(t) \\ t^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cos(t) - 2t \sin(t) \\ 2 \sin(t) + 2t \cos(t) \\ 2t \end{bmatrix} \)

Resultat: Hastighetsvektorn \( \mathbf{v}(t) = \begin{bmatrix} 2 \cos(t) - 2t \sin(t) \\ 2 \sin(t) + 2t \cos(t) \\ 2t \end{bmatrix} \)

Steg 2

Beskrivning: Beräkna accelerationsvektorn \( \mathbf{a}(t) \) genom att derivera hastighetsvektorn \( \mathbf{v}(t) \) med avseende på \( t \).

Beräkning: \( \mathbf{a}(t) = \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} 2 \cos(t) - 2t \sin(t) \\ 2 \sin(t) + 2t \cos(t) \\ 2t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \sin(t) - 2 \sin(t) - 2t \cos(t) \\ 2 \cos(t) + 2 \cos(t) - 2t \sin(t) \\ 2 \end{bmatrix} \)

Resultat: Accelerationsvektorn \( \mathbf{a}(t) = \begin{bmatrix} -2 \sin(t) - 2 \sin(t) - 2t \cos(t) \\ 2 \cos(t) + 2 \cos(t) - 2t \sin(t) \\ 2 \end{bmatrix} \)

Steg 3

Beskrivning: Sätt in \( t = \pi \) i uttrycken för \( \mathbf{v}(t) \) och \( \mathbf{a}(t) \) för att få hastighets- och accelerationsvektorerna vid \( t = \pi \).

Beräkning: \( \mathbf{v}(\pi) = \begin{bmatrix} 2 \cos(\pi) - 2\pi \sin(\pi) \\ 2 \sin(\pi) + 2\pi \cos(\pi) \\ 2\pi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \pi \\ 2 \pi \\ 2 \pi \end{bmatrix} \), \( \mathbf{a}(\pi) = \begin{bmatrix} -2 \sin(\pi) - 2 \pi \cos(\pi) \\ 2 \cos(\pi) - 2 \pi \sin(\pi) \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \pi - 2 \pi^2 \\ 2 \pi - 2 \pi^2 \\ 2 \end{bmatrix} \)

Resultat: Hastighetsvektorn \( \mathbf{v}(\pi) = \begin{bmatrix} -2\pi \\ 2\pi \\ 2\pi \end{bmatrix} \), Accelerationsvektorn \( \mathbf{a}(\pi) = \begin{bmatrix} -2\pi - 2 \pi^2 \\ 2\pi - 2 \pi^2 \\ 2 \end{bmatrix} \)

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Vektorer i planet och rummet Grundläggande

Förståelse av vektorer och deras derivator i tre dimensioner.

Läs mer →

Derivator Grundläggande

Kunskap om hur man deriverar vektorvärda funktioner.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En partikel rör sig enligt \( \mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} t^2 \\ t^3 \\ \sin(t) \end{bmatrix} \). Beräkna hastighets- och accelerationsvektorerna vid \( t = 1 \).

Förklaring: Derivera positionsvektorn för att få hastighetsvektorn och derivera sedan hastighetsvektorn för att få accelerationsvektorn.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om att derivera en vektorvärd funktion för att hitta hastighet och acceleration.

Lösningsstrategi

Använd derivata för att hitta hastighets- och accelerationsvektorerna och sätt in det givna \( t \)-värdet.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningarna genom att säkerställa att derivatorna är korrekt utförda och att de givna värdena är korrekt insatta.

Nyckelbegrepp

Derivata Vektorvärda funktioner Tredimensionell rörelse

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.