Uppgift 1 - Linjär Algebra (Grundläggande nivå)

En filmregissör planerar en 3D-animerad scen där en kamera ska rotera runt en punkt i rummet. Kamerans initiala position är given av vektorn \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \). Regissören vill att kameran ska rotera 90 grader moturs runt z-axeln. Vilken är kamerans nya position efter rotationen?

SVAR

Kamerans nya position är \( \mathbf{v'} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera rotationsmatrisen för en 90 graders rotation moturs runt z-axeln.

Beräkning: \( R_z(90^\circ) = \begin{bmatrix} \cos(90^\circ) & -\sin(90^\circ) & 0 \\ \sin(90^\circ) & \cos(90^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

Resultat: Rotationsmatrisen är \( \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \).

Steg 2

Beskrivning: Multiplicera den ursprungliga vektorn med rotationsmatrisen för att få den nya positionen.

Beräkning: \( \mathbf{v'} = R_z(90^\circ) \cdot \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)

Resultat: Den nya positionen är \( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Matrismultiplikation Grundläggande

För att rotera en vektor i rummet används en rotationsmatris som multipliceras med vektorn.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En kamera är placerad vid \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \). Rotera kameran 180 grader runt z-axeln. Vad blir den nya positionen?

Förklaring: Använd rotationsmatrisen för 180 graders rotation runt z-axeln och multiplicera med den ursprungliga vektorn.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om en rotation i 3D-rummet och att en rotationsmatris behövs.

Lösningsstrategi

Använd rotationsmatrisen för att beräkna den nya positionen genom matrismultiplikation.

Verifieringsmetod

Kontrollera att den resulterande vektorn har rätt riktning och storlek efter rotationen.

Nyckelbegrepp

Rotationsmatris Matrismultiplikation 3D-rotation

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.