Uppgift 1 - Linjär Algebra (Avancerad nivå)

En filmregissör planerar en 3D-animerad scen där en kamera ska rotera runt en karaktär. Kameran startar vid positionen (1, 0, 0) och ska rotera 90 grader runt y-axeln. Hur ser kamerans nya position ut efter rotationen?

SVAR

Kamerans nya position är (0, 0, -1).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera rotationsaxeln och rotationsvinkeln. I detta fall är rotationsaxeln y-axeln och rotationsvinkeln är 90 grader.

Beräkning: Rotationsaxel: y-axeln, Rotationsvinkel: 90 grader

Resultat: Rotationsaxel och vinkel identifierade

Steg 2

Beskrivning: Använd rotationsmatrisen för en rotation runt y-axeln med 90 grader: \( R_y(90°) = \begin{pmatrix} \cos(90°) & 0 & \sin(90°) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(90°) & 0 & \cos(90°) \end{pmatrix} \).

Beräkning: R_y(90°) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Resultat: Rotationsmatrisen beräknad

Steg 3

Beskrivning: Multiplicera den ursprungliga positionen (1, 0, 0) med rotationsmatrisen för att få den nya positionen.

Beräkning: \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}

Resultat: Kamerans nya position är (0, 0, -1)

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Matrismultiplikation Grundläggande

Förstå hur man multiplicerar matriser för att tillämpa transformationer.

Läs mer →

Linjära avbildningar Grundläggande

Förstå hur linjära avbildningar kan representeras med matriser.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En kamera befinner sig vid positionen (0, 1, 0) och ska rotera 180 grader runt z-axeln. Vad är kamerans nya position?

Förklaring: Använd rotationsmatrisen för en rotation runt z-axeln med 180 grader och multiplicera med den ursprungliga positionen.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera vilken typ av transformation som behövs och vilken axel rotationen sker runt.

Lösningsstrategi

Använd rotationsmatrisen för att beräkna den nya positionen genom matrismultiplikation.

Verifieringsmetod

Kontrollera att den beräknade positionen är rimlig med avseende på rotationens riktning och vinkel.

Nyckelbegrepp

Rotationsmatriser Matrismultiplikation Linjära avbildningar

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.