Uppgift 1 - Linjär Algebra (Medel nivå)

En filmregissör planerar en 3D-animerad scen där en kamera ska röra sig genom en virtuell stad. För att skapa en realistisk känsla behöver kamerans rörelse beskrivas med hjälp av linjära transformationer. Regissören vill använda en kombination av rotation och translation för att flytta kameran från positionen $(1, 2, 3)$ till $(4, 5, 6)$, samtidigt som den roteras 45 grader runt z-axeln. Hur kan dessa transformationer beskrivas med hjälp av matriser?

SVAR

För att beskriva kamerans rörelse, använd först en rotationsmatris för att rotera 45 grader runt z-axeln: \[ R = \begin{bmatrix} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) & 0 \\ \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \] Därefter, använd en translationsmatris för att flytta från $(1, 2, 3)$ till $(4, 5, 6)$: \[ T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \] Kombinera dessa transformationer genom att först applicera rotationen och sedan translationen på kamerans position.

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Börja med att skapa en rotationsmatris för en 45 graders rotation runt z-axeln.

Beräkning: R = \begin{bmatrix} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) & 0 \\ \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Resultat: R = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Steg 2

Beskrivning: Skapa en translationsmatris för att flytta kameran från $(1, 2, 3)$ till $(4, 5, 6)$.

Beräkning: T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Resultat: T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Steg 3

Beskrivning: Kombinera rotation och translation för att få den totala transformationen.

Beräkning: Använd först rotationsmatrisen och sedan translationsmatrisen på kamerans position.

Resultat: Den kombinerade transformationen beskriver kamerans rörelse och rotation.

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Matriser och matrisoperationer Grundläggande

Förståelse för hur matriser kan användas för att beskriva linjära transformationer såsom rotation och translation.

Läs mer →

Matrismultiplikation Grundläggande

Kunskap om hur man multiplicerar matriser för att kombinera flera transformationer.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En datavetare vill rotera en 3D-modell 90 grader runt x-axeln och sedan flytta den 5 enheter uppåt längs y-axeln. Hur kan detta beskrivas med hjälp av matriser?

Förklaring: Använd en rotationsmatris för x-axeln och en translationsmatris för y-axeln. Kombinera dessa för att beskriva den totala transformationen.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera de två huvudsakliga transformationerna: rotation och translation.

Lösningsstrategi

Använd rotationsmatrisen för att rotera och sedan translationsmatrisen för att flytta kameran.

Verifieringsmetod

Kontrollera att den kombinerade matrisen korrekt beskriver både rotation och translation.

Nyckelbegrepp

Rotation Translation Matrisrepresentation

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.