Uppgift 1 - Sannolikhetsteori & Statistik (Medel nivå)

En forskare löser ett komplext matematiskt problem där de undersöker sannolikheten att en viss händelse inträffar minst tre gånger under en vecka. Händelsen följer en Poissonfördelning med en genomsnittlig frekvens på 2 gånger per vecka. Vad är sannolikheten att händelsen inträffar minst tre gånger under en vecka?

SVAR

0.3233

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera parametrarna för Poissonfördelningen.

Beräkning: λ = 2 (genomsnittlig frekvens per vecka)

Resultat: λ = 2

Steg 2

Beskrivning: Beräkna sannolikheten att händelsen inträffar 0, 1 eller 2 gånger.

Beräkning: P(X = 0) = (e^(-2) * 2^0) / 0! = 0.1353, P(X = 1) = (e^(-2) * 2^1) / 1! = 0.2707, P(X = 2) = (e^(-2) * 2^2) / 2! = 0.2707

Resultat: P(X ≤ 2) = 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 = 0.6767

Steg 3

Beskrivning: Beräkna sannolikheten att händelsen inträffar minst tre gånger.

Beräkning: P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - 0.6767

Resultat: 0.3233

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Poissonfördelning Grundläggande

Poissonfördelningen används för att modellera antalet gånger en händelse inträffar under en fast tidsperiod.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar antalet kundbesök per dag i en butik som i genomsnitt har 5 besök per dag. Vad är sannolikheten att det är exakt 7 besök en viss dag?

Förklaring: Använd Poissonfördelning med λ = 5 för att beräkna sannolikheten för exakt 7 besök.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar antalet partiklar som passerar genom en detektor per minut. Om det i genomsnitt passerar 3 partiklar per minut, vad är sannolikheten att exakt 5 partiklar passerar under en minut?

Förklaring: Använd Poissonfördelning med λ = 3 för att beräkna sannolikheten för exakt 5 partiklar.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar antalet patienter som kommer till en akutmottagning per timme. Om det i genomsnitt kommer 10 patienter per timme, vad är sannolikheten att det kommer minst 12 patienter under en timme?

Förklaring: Använd Poissonfördelning med λ = 10 och beräkna sannolikheten för minst 12 patienter.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om en Poissonfördelning och bestämma parametrarna.

Lösningsstrategi

Beräkna sannolikheten för de oönskade utfallen och använd komplementregeln för att hitta sannolikheten för de önskade utfallen.

Verifieringsmetod

Kontrollera att summan av sannolikheterna för alla möjliga utfall är 1.

Nyckelbegrepp

Poissonfördelning Sannolikhetsberäkning Komplementregel

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.