Uppgift 1 - Sannolikhetsteori & Statistik (Avancerad nivå)

En specialist inom försäkring använder sannolikhetsteori för att beräkna sannolikheten att en viss typ av försäkringsanspråk överstiger ett visst belopp. Anta att antalet anspråk följer en Poissonfördelning med ett medelvärde på 3 anspråk per månad. Bevisa att sannolikheten att få mer än 5 anspråk i en månad är mindre än 0,1.

SVAR

0.083

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera parametrarna för Poissonfördelningen.

Beräkning: λ = 3

Resultat: λ = 3

Steg 2

Beskrivning: Beräkna sannolikheten för att få exakt k anspråk för k = 0 till 5.

Beräkning: P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

Resultat: P(X = 0) = 0.0498, P(X = 1) = 0.1494, P(X = 2) = 0.2240, P(X = 3) = 0.2240, P(X = 4) = 0.1680, P(X = 5) = 0.1008

Steg 3

Beskrivning: Beräkna sannolikheten för att få högst 5 anspråk.

Beräkning: P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Resultat: P(X ≤ 5) = 0.9162

Steg 4

Beskrivning: Beräkna sannolikheten för att få mer än 5 anspråk.

Beräkning: P(X > 5) = 1 - P(X ≤ 5)

Resultat: P(X > 5) = 0.0838

Steg 5

Beskrivning: Verifiera att sannolikheten är mindre än 0.1.

Beräkning: 0.0838 < 0.1

Resultat: 0.083

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Poissonfördelning Grundläggande

Poissonfördelningen används för att modellera antalet händelser som inträffar inom ett fast tidsintervall.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar antalet kundbesök i en butik som följer en Poissonfördelning med ett medelvärde på 10 besök per dag. Beräkna sannolikheten att få exakt 8 besök en dag.

Förklaring: Använd Poissonfördelningens formel för att beräkna sannolikheten för exakt 8 besök.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar antalet partiklar som passerar genom en detektor och som följer en Poissonfördelning med ett medelvärde på 15 partiklar per minut. Beräkna sannolikheten att det passerar högst 12 partiklar under en minut.

Förklaring: Beräkna sannolikheten för varje antal från 0 till 12 och summera dessa för att få sannolikheten för högst 12 partiklar.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar sannolikheten att antalet patienter som besöker en klinik under en dag överstiger 20, givet att det genomsnittliga antalet patienter per dag är 18 och följer en Poissonfördelning.

Förklaring: Använd Poissonfördelningens formel för att beräkna sannolikheten för mer än 20 patienter.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om en Poissonfördelning och att vi behöver beräkna sannolikheten för ett antal händelser.

Lösningsstrategi

Beräkna sannolikheten för högst 5 händelser och använd komplementregeln för att hitta sannolikheten för mer än 5.

Verifieringsmetod

Kontrollera att summan av sannolikheterna för alla möjliga utfall är 1 och att beräkningarna är korrekta.

Nyckelbegrepp

Poissonfördelning Sannolikhetsberäkning Komplementregel

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.