Flervariabelanalys

Svårighetsgrad: Avancerad | Tid: 30 minuter | Uppgift: 5 av 6

En analytiker modellerar data för att förstå mönster i temperaturförändringar över tid. Anta att temperaturen T(x, y) i en region ges av funktionen T(x, y) = 3x^2 - 2xy + y^2 + 4x - 5y + 6. Bestäm den punkt där temperaturen är som högst inom området definierat av 0 ≤ x ≤ 3 och 0 ≤ y ≤ 3.

SVAR

(3, 3)

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Beräkna de partiella derivatorna av T(x, y) med avseende på x och y.

Beräkning: T_x = ∂T/∂x = 6x - 2y + 4; T_y = ∂T/∂y = -2x + 2y - 5

Resultat: T_x = 6x - 2y + 4; T_y = -2x + 2y - 5

Steg 2

Beskrivning: Sätt de partiella derivatorna lika med noll för att hitta kritiska punkter.

Beräkning: 6x - 2y + 4 = 0; -2x + 2y - 5 = 0

Resultat: x = 3, y = 3

Steg 3

Beskrivning: Kontrollera om (3, 3) är en maximum punkt genom att använda andra derivatatestet.

Beräkning: T_xx = 6; T_yy = 2; T_xy = -2; D = T_xx * T_yy - (T_xy)^2 = 6*2 - (-2)^2 = 8

Resultat: D = 8 > 0 och T_xx = 6 > 0, så (3, 3) är en lokal maximum

Steg 4

Beskrivning: Eftersom (3, 3) ligger inom det givna området, är det den punkt där temperaturen är som högst.

Beräkning: Kontrollera gränserna: T(0,0), T(0,3), T(3,0), T(3,3)

Resultat: (3, 3)

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Extremvärden Grundläggande

Förstå hur man hittar och klassificerar kritiska punkter för funktioner av flera variabler.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En ekonom analyserar kostnadsfunktionen C(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9. Bestäm den punkt där kostnaden är som lägst inom området 0 ≤ x ≤ 2 och 0 ≤ y ≤ 2.

Förklaring: Använd partiella derivator för att hitta kritiska punkter och bestäm om de är minima.

Uppgift 2 (Nivå B)

Fråga: En fysiker studerar potentialfunktionen V(x, y) = 4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 7. Hitta den punkt där potentialen är som högst inom området 0 ≤ x ≤ 4 och 0 ≤ y ≤ 4.

Förklaring: Beräkna de partiella derivatorna och använd andra derivatatestet för att klassificera kritiska punkter.

Uppgift 3 (Nivå C)

Fråga: En läkare beräknar läkemedelskoncentrationen C(x, y) = 5x^2 + 3y^2 - 10x - 12y + 20 i en kropp. Bestäm den punkt där koncentrationen är som lägst inom området 0 ≤ x ≤ 5 och 0 ≤ y ≤ 5.

Förklaring: Använd metoder för att hitta och klassificera kritiska punkter för att bestämma minimipunkten.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera funktionens form och de givna begränsningarna.

Lösningsstrategi

Beräkna partiella derivator, hitta kritiska punkter, använd andra derivatatestet för att klassificera punkterna.

Verifieringsmetod

Kontrollera beräkningar och jämför med gränsvärden för att säkerställa korrekt klassificering.

Nyckelbegrepp

Partiella derivator Kritiska punkter Andra derivatatestet

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.