Linjär Algebra

Svårighetsgrad: Medel | Tid: 30 minuter | Uppgift: 4 av 6

En filmregissör planerar en 3D-animerad scen där en kamera ska rotera runt ett objekt för att skapa en dramatisk effekt. Kamerans initiala position är given av vektorn \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \). Regissören vill att kameran ska rotera 90 grader runt z-axeln. Använd linjär algebra för att bestämma kamerans nya position efter rotationen.

SVAR

Kamerans nya position efter rotationen är \( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \).

STEG-FÖR-STEG LÖSNING

Steg 1

Beskrivning: Identifiera rotationsmatrisen för en rotation runt z-axeln med 90 grader.

Beräkning: Rotationsmatrisen är \( R = \begin{bmatrix} \cos(90^\circ) & -\sin(90^\circ) & 0 \\ \sin(90^\circ) & \cos(90^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \).

Resultat: Rotationsmatrisen \( R \) är \( \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \).

Steg 2

Beskrivning: Multiplicera initiala vektorn \( \mathbf{v} \) med rotationsmatrisen \( R \) för att få den nya positionen.

Beräkning: \( R \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \).

Resultat: Den nya positionen är \( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \).

NÖDVÄNDIG KUNSKAP

Matrismultiplikation Grundläggande

För att multiplicera en matris med en vektor, multiplicera varje rad i matrisen med vektorn och summera resultaten.

Läs mer →

Linjära avbildningar Grundläggande

En linjär avbildning kan representeras av en matris som beskriver hur vektorer transformeras.

Läs mer →

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1 (Nivå A)

Fråga: En designer vill rotera en punkt \( \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} \) 180 grader runt z-axeln. Bestäm den nya positionen.

Förklaring: Använd rotationsmatrisen för 180 grader runt z-axeln och multiplicera med den givna punkten.

TANKESÄTT OCH STRATEGI

Första intryck

Identifiera att problemet handlar om en rotation i 3D-rymden och att en rotationsmatris behövs.

Lösningsstrategi

Använd rotationsmatrisen för att transformera den initiala vektorn.

Verifieringsmetod

Kontrollera att den resulterande vektorn har samma längd som den ursprungliga och att den är korrekt roterad.

Nyckelbegrepp

Rotationsmatris Matrismultiplikation

Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag. Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information. Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.