Transformationsmatrisen $T$ är given av $T = R \cdot S$, där $S = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{bmatrix}$ och $R = \begin{bmatrix} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) & 0 \\ \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$. Beräkningen ger $T = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 \\ 3\sqrt{2} & 3\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{bmatrix}$.
← Tillbaka till Linjär Algebra
Linjär Algebra
En forskare inom datorgrafik arbetar med att optimera 3D-modeller för en ny animationsfilm. För att effektivisera renderingstiden vill forskaren använda en linjär transformation för att skala och rotera en 3D-modell. Modellen representeras av en matris $A$. Forskarens mål är att först skala modellen med en faktor av 2 längs x-axeln, 3 längs y-axeln och 0.5 längs z-axeln, och därefter rotera modellen 45 grader runt z-axeln. Bestäm transformationsmatrisen $T$ som beskriver denna kombinerade transformation.
SVAR
STEG-FÖR-STEG LÖSNING
Steg 1
Beskrivning: Definiera skalningsmatrisen $S$ baserat på de givna skalningsfaktorerna.
Beräkning: $S = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{bmatrix}$
Resultat: Skalningsmatris $S$ är definierad.
Steg 2
Beskrivning: Definiera rotationsmatrisen $R$ för en rotation av 45 grader runt z-axeln.
Beräkning: $R = \begin{bmatrix} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) & 0 \\ \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
Resultat: Rotationsmatris $R$ är definierad.
Steg 3
Beskrivning: Beräkna den kombinerade transformationsmatrisen $T$ genom att multiplicera $R$ och $S$.
Beräkning: $T = R \cdot S = \begin{bmatrix} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) & 0 \\ \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{bmatrix}$
Resultat: $T = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 \\ 3\sqrt{2} & 3\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{bmatrix}$
NÖDVÄNDIG KUNSKAP
Matrismultiplikation
Grundläggande
För att kombinera två transformationer, multipliceras deras respektive matriser.
Läs mer →
Linjära avbildningar
Grundläggande
Linjära transformationer kan representeras med matriser som beskriver skalning, rotation och andra operationer.
Läs mer →ÖVNINGSUPPGIFTER
Uppgift 1 (Nivå A)
Fråga: Bestäm transformationsmatrisen för en 3D-modell som först roteras 90 grader runt y-axeln och sedan skalas med en faktor av 2 längs alla axlar.
Förklaring: Använd rotationsmatrisen för y-axeln och en skalningsmatris för att kombinera transformationerna.
TANKESÄTT OCH STRATEGI
Första intryck
Identifiera de två huvudsakliga transformationerna: skalning och rotation.
Lösningsstrategi
Definiera individuella transformationsmatriser och multiplicera dem för att få den kombinerade matrisen.
Verifieringsmetod
Kontrollera att den resulterande matrisen korrekt representerar både skalning och rotation genom att tillämpa den på en enkel vektor och verifiera resultatet.
Nyckelbegrepp
Matrismultiplikation
Linjära avbildningar
Rotationsmatriser
Ansvarsbegränsning: Denna tjänst tillhandahålls "som den är" utan garantier av något slag.
Vi tar inget ansvar för hur materialet används eller för eventuella felaktigheter i uppgifter, lösningar eller annan information.
Använd alltid eget omdöme och verifiera informationen genom andra källor när det är viktigt.